Sciogliete il lievito in poca acqua tiepida, impastatelo con la farina e il sale e lavorate gli ingredienti fino a ottenere una palla liscia ed elastica; lasciatela in una terrina a lievitare per 20 minuti.
Mettete le patate intere e con la buccia in acqua salata e fredda e lessatele; pelatele e passatele allo schiacciapatate. Pulite i funghi, eliminando la parte terrosa del gambo e tagliateli a fettine sottili.
Saltate i funghi in una padella con 2 cucchiai di olio d’oliva e l’aglio schiacciato per qualche minuto; quindi, mescolateli in una terrina con le patate schiacciate, 1 uovo, il parmigiano grattugiato, il cipolletto tagliato a fettine sottili, le foglioline di timo, sale e pepe.
Stendete la pasta a rettangolo e disponete al centro per il lungo il composto di patate e funghi. Arrotolate la pasta su se stessa chiudendola ai lati, fatela lievitare per 10-15 minuti in una teglia, spennellate con l’uovo sbattuto e infornate a 190 °C per 25-30 minuti.
Sfornate lo strudel di patate e funghi e lasciatelo intiepidire; quindi, servitelo a fette spesse, accompagnandolo a piacere con un’insalatina fresca.