Bucherellate le patate con uno stuzzicadenti e infornatele per 1 ora o finché non saranno tenere. Lasciate raffreddare per 15 minuti, poi sbucciatele e schiacciatele (non utilizzate un frullatore).
Unite i tuorli d’uovo e il parmigiano alle patate aggiungendo la farina gradualmente. Mescolate con le mani. Quando l’impasto si sarà ammorbidito, spostatelo su un piano di lavoro infarinato e continuate ad impastare. Aggiungete la farina necessaria a rendere il composto soffice, leggero e malleabile.
Dividete l’impasto in 6 porzioni. Infarinate le mani e lavorate una porzione alla volta fino a formare un cordone di 1,5 cm. Tagliatelo a cubetti e pressateli con le dita per conferirgli una forma concava, poi con una forchetta incidete la superficie esterna. Pressate i lembi in modo da lasciare un foro al centro, poi lasciate gli gnocchi su un vassoio infarinato a riposare almeno 10 minuti.
Per la salsa: fate soffriggere la pancetta nel burro fino a renderla dorata e croccante, poi mettetela da parte.
Portate ad ebollizione una pentola d’acqua bollente e salata, poi abbassate il fuoco. Versate gli gnocchi mescolando delicatamente e fate tornare l’acqua a bollire. Continuate a cuocerli fino a che non verranno a galla, poi scolateli con un mestolo forato. Mescolate il basilico alla pancetta, condite bene e versate il tutto sugli gnocchi.