Mettete il pesce in una padella per friggere, aggiungete metà burro, il latte, il brodo di pesce, la foglia di alloro e il condimento e scaldate a fiamma media fino al punto di ebollizione. Abbassate la fiamma, coprite la padella e lasciate il pesce immerso per 10-15 minuti, in base allo spessore dei filetti, fino a quando il pesce non è tenero e le carni cominciano a sfaldarsi.
Trasferite delicatamente il pesce in un piatto da portata caldo, coprite e tenete in caldo mentre preparate la salsa. Rimettete il liquido di cottura su fiamma media e portate ad ebollizione, mescolando. Fate sobbollire per circa 4 minuti, poi togliete dal fuoco ed eliminate la foglia di alloro.
Sciogliete in una pentola il restante burro, mescolate la farina e cuocete mescolando per 1 minuto. Togliete dalla fiamma e aggiungete gradualmente mescolando il liquido di cottura del pesce. Rimettete sulla fiamma e portate ad ebollizione, mescolando continuamente. Fate bollire per circa 4 minuti, mescolando frequentemente.
Togliete la pentola dalla fiamma e sciogliete la panna nel tuorlo, poi mescolate nella salsa insieme al prezzemolo. Scaldate di nuovo a fiamma bassa, mescolando, per pochi minuti.
Togliete dalla fiamma, aggiungete il succo e la buccia di limone e insaporite. Versate in una salsiera. Servite il pesce con la salsa, le patate e le carote.
Poiché il pesce deve essere tenuto in caldo durante la preparazione della salsa, fate attenzione a non cuocerlo troppo.